Kikérdező

1. előadás

Klasszikus geometriák

Sorold fel a tanult klasszikus geometriákat, és hasonlítsd össze őket!

• 4 tanult geometria van
  • Euklidészi síkgeometria

    • Egy egyeneshez egy rajta kívül fekvő ponton át egy nem metsző egyenes húzható → párhuzamosság
    • háromszög szögösszege 180 fok
    • pithagorasz tétel → a² + b² = c²
    • kör területe → πR²
  • Gömbi geometria

    • állandó pozitív görbületű (bármely irányba körbenézve olyan, mintha egy dombtetőn állnánk)
    • két egyenes mindig metszi egymást egy pontban → átmérő
    • egyenes = főkör = legrövidebb út
    • az egyenesek mindig metszők
    • háromszög szögösszege több mint 180 fok
    • pithagorasz tétel → a² + b² > c²
    • kör területe → több mint πR²
  • Hiperbolikus geometria

    • állandó negatív görbületű (vannak olyan irányok, ahonnan nézve a domb tetején vagyunk, és van, ahonnan a völgyben)
    • Egy egyeneshez egy rajta kívül fekvő ponton át több nem metsző egyenes húzható → több párhuzamos van
    • egyenes = legrövidebb út
    • háromszög szögösszege kevesebb mint 180 fok
    • pithagorasz tétel → a² + b² < c²
    • kör területe → kevesebb mint πR²
  • Projektív geometria

    • lényeg: a "végtelen" is része a síknak!
    • Két egyenes pontosan egy pontban metszi egymást → a végtelenben = ideális pontban
    • nincsenek párhuzamosok (mert mindenegyik egyenes mindegyiket metszi)
    • programozási előny → nincs szingularitás és speciális eset, mivel nincsenek párhuzamosok

Mi az a Mercantor térkép?

• olyan térkép, ami szögtertó, de torzítja a távolságot és a területet
• 
• A gömböt befoglaljuk egy hengerbe, majd annak egy pontját rávetítjük a henger falára, és a hengert (mivel 0 görbületű), már ki lehet teríteni torzulás nélkül a síkba. Ezen kívül függőlegesen torzítjuk, hogy a szögek megfeleljenek.
  • torzítás: x = λ és y = log(tan( π/4 + φ/2))

Szedd össze a tesszellációról tanultakat!

• a tesszelláció jelentése: szabályos, egybevágó sokszögekkel való csempézés
• Euklidészei geometria esetén csak (3, 6), (4, 4) és (6, 3) csempézés létezik
• Hiperbolikus geometria esetén végtelen sok, mivel a sokszögek belső szöge bármilyen értéket felvehet
  • 

Hasonlítsd össze a tanult klasszikus geometriákat a metsző egyenesek és a görbületük szempontjából!

Euklideszi	Gömbi	Hiperbolikus	Projektív
1 nem metsző egyenes (párhuzamos)	0 nem metsző egyenes	egynél több nem metsző egyenes	0 nem metsző egyenes
zérus görbületű	pozitív görbületű	negatív görbületű	nem metrikus: végtelen is része

Vektoralgebra

Mi a vektor?

• a vektor
  • írány és távolság
  • eltolás
• két pont viszonyát jellemzi

Mutasd be a pontok és valós számok közötti tanult kapcsolatokat!

• mérések → pontok és vektorok számszerűsítése (PONTOK → VALÓS SZÁMOK)
  • távolság rendelése pontpárhoz, hossz rendelése a vektorhoz és szög rendelése két vektorhoz
• pontok megadása függvénnyel (VALÓS SZÁMOK → PONTOK)
  • r(t), ahol t például az idő paraméter → egy görbe
• pontok leképzése valós számokká → pl minden térpontban megmérjük a hőt
• transzformációk → (PONT → PONT)

Sorold fel a tanult vektorműveleteket!

• összeadás és kivonás

  • összeadás → v = v₁ + v₂
    • 
  • kivonás → v = v₁ - v₂
    • 
  • kommutatív és asszociatív
• skálázás

  • skalárral való szorzás → v₁ = α*v
  • 
  • disztributív
• skalár szorzat (dot)

  • v₁ * v₂ = |v₁|*|v₂|*cos(α)
  • jelentése: egyik vektor vetülete a másikra * másik hossza
    • 
  • tulajdonságok: nem asszociatív, de kommutatív és disztributív az összeadásra
  • vektor hosszának kiszámítása → saját magával vett skaláris szorzata → v * v = |v|²
  • egységbektor képzése → vektor elosztva az abszolútértékével
    • 
    • (vektor elosztva a saját magával vett skaláris szorzatának négyzetgyökével)
  • 2 vektor bezárt szögének koszinusza
    • 
  • két vektor merőleges, ha skalár szorzatuk nulla
• vektor szorzat (cross)

  • |v₁ × v₂| = |v₁|*|v₂|*sin(α) → merőleges a két operandus által meghatározott síkra, majd ebből a jobbkézszabály szerinti
    • 
  • jelentése:
    • operandusok által kijelölt terület
    • operandusokra merőleges vektor
    • (egyik vektor vetülete a másikra merőleges síkra + 90°-os elforgatás) * másik hossza
  • tulajdonságok: nem asszociatív, antiszimmetrikus (a × b = −b × a), disztributív az összeadásra

Mi az iránymenti derivált, és a gradiens

• kiindulás: geometriánk minden pontjához egy skalár értéket rendelünk (pl pontban levő hőmérséklet), azonos hőmérsékletű pontokból szintvonalak lesznek
• iránymenti derivált:
  • (egy v₀ irányba Δs-el arrébb menve)
• gradiens: amerre ez az iránymenti derivált maximális →
  • (a szintvonalra merőleges irányba lesz a gradiens)
• 

Mutasd be a paraméter szerinti deriválást

• 
• ide kellene még valami?

Mutasd be a kontravariáns és a kovariáns kordinátarendszerek közti különbségeket!

• koordinátarendszer = geometriai referencia rendszer + hozzá tartozó mérési utasítás
• Kontravariáns koordinátarendszer

  • az a és b vektort hányszor kell venni, hogy eljussunk az r pontba → r(x, y) = x***a* + y***b*
    • a = r'_x és b = r'_y
    • kontravariáns = ha megdublázzuk a bázisvektorokat (a, b), és szintén r-t akarjuk kifejezni, akkor a koordinátákat feleznünk kell (x, y)
  • 
• Kovariáns koordinátarendszer

  • vetítjük a pontot az egyenesekre
  • paraméter vonalak merőlegesek a koordináta tengelyekre (az adott koordináta tengelyre merőleges egyenesen lesznek az azonos koordinátájú pontok)
  • X = a * r és Y = b q* r
  • a = ∇X, b = ∇Y
    • kovariáns = egy irányba változik X és Y a bázisvektorokkal
  • 

Mutasd be a Descartes koordináta rendszert!

• alaptulajdonsága: bázisvektorai egység hosszúak és egymásra merőlegesek → a kontravariáns és kovariáns koordináták megegyeznek
  • r(x, y) = x***i* + y***j*
  • x = i * r és y = j * r
  • r'_x = i és r'_y = j
  • i = ∇x és j = ∇y
• 
• műveletek Descartes koordinátákkal:

  • 
• vektoriális szorzat 2-3-4D-ben

  • 
  • 
  • 

Differenciálgeometria

Mutasd be egy síkgörbe érintőjét és normálvektorát!

• 
• görbe = mozgás → mivel a dinamika nem érdekes, a t nem feltétlenül idő
• érintő iránya (v) → sebességvektor, ami a pálya idő szerinti első deriváltja
• normálvektor → érintőre merőleges → (N_x, N_y) = (-T_y, T_x)
• gyorsulás → a pálya idő szerinti második deriváltja
  • érintő irányú komponens (tangenciális) → pályamenti sebességet gyorsítja vagy lassítja
  • normál vektor irnyú komponens → sebesség irányát módosítja
  • sebesség állandó = érintő irányú gyorsulás nincsen (csak centripetális, ami a pontot a görbülő pályán tartja)

Mi a görbület?

• görbület jele: κ
• 4 definíciót tanultuk a görbülethez:

  • egysebességű mozgás centripetális gyorsulása → a_cp = v²/ R
    • az a gyorsulás, amit el kell szenvednünk, ha végigautózunk ezen a görbén, mégpedig állandó egységsebességgel
  • másodrendben simulókör sugarának reciproka →
  • érintő elfordulása kis lépésnél → Δφ ≈ sin(Δφ) = Δs / R
    • 
  • az az eltávolodás, ami Δs kicsiny távolság megtételekor megfigyelhető
    • 
  • ezekből adódóan →

Hogy számíthatunk görbületet?

• a következő képletet fogjuk használni:
  • ahol r'² az első fundamentális forma, r'' pedig a második fundamentális forma
• kezdjük a Δs² (lépéshossz négyzete) kiszámolásával
  • másnével metrika → ha a koordinátát egy picikét megváltoztatjuk, akkor ténylegesen a térben mekkora távolságot teszünk meg
  • 
  • az itt megjelenő r'² = metrikus tenzor (1. fundamentális forma) = görbéknél, a paraméter változás négyzete és a megtett út négyzete közötti kapcsolatot a görbe deriváltjának négyzete (=sebesség négyzete) teremti meg
• majd számítsuk ki Δh-t → merőleges eltávolodás az érintőtől
  • 

Analitikus euklideszi geometria

Nemeuklideszi geometria

Automatikus deriválás

2. előadás

3. előadás

4. előadás